Учебники

Главная страница


Банковское дело
Государственное управление
Культурология
Журналистика
Международная экономика
Менеджмент
Туризм
Философия
История экономики
Этика и эстетика


2.1. Математика

  МАТЕМАТИКА - наука о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания. Первый и основной предмет математики составляют количественные и пространственные отношения и формы. Кроме количественных и пространственных отношений и форм, в математике изучаются другие отношения и формы, в частности в математической логике - формы логического вывода. Кроме того, в математике рассматриваются и логически возможные формы и отношения, определяемые на основе уже известных форм и отношений. Именно так появились "мнимые" числа, "воображаемая" геометрия Лобачевского и др. Математика может быть определена как наука о логически возможных, чистых (т.е. отвлеченных от содержания) формах или, что то же, о системах отношений.
  Особенности математики
  1) Форма, отвлеченная от содержания, выступает как самостоятельный объект, так что непосредственным предметом математики оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрические фигуры, а не реальные тела и т.п.
  2) Результаты математики - теоремы - получаются путем логического вывода из основных понятий и посылок, т.е. чистая математика имеет часто дедуктивный, умозрительный характер.
  3) Отличительной особенностью математики является непреложность ее выводов
  4) Для математики характерно наличие ряда ступеней абстракции и образование новых понятий на базе уже сложившихся.
  5) Особенностью математики является также универсальность ее применений. В любой области, где только удается поставить задачу математически, математика дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи.
  6) Математика занимает особое положение среди других наук, т.к. исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе, а также в мышлении, она отвлекается от содержания и исключает из допускаемых внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент. Поэтому ее нельзя причислить к естествознанию или к общественным наукам.
  Тем не менее математика зародилась из практики как естественная наука и только в результате достаточного длительного накопления знаний, выяснения понятий и связей между отдельными результатами превратилась в "чистую" математику, дальнейшее развитие которой, продолжая идти в тесной связи с естествознанием, включало существенное расширение ее предмета, вхождение к более высоким ступеням абстракции.
  Основные этапы развития математики
  История математики делится на ряд этапов. Формирование на основе повседневной практики простейших понятий арифметики и геометрии восходит к очень ранним ступеням развития человеческого общества. Моментом зарождения собственно математики - превращение накопленных знаний в науку - следует считать систематизацию этих знаний и формулировку законов и правил (в данном случае - правил решения арифметических задач и определения простейших площадей и объемов; само слово "геометрия" означает "землемерение"). Это произошло в 3-2 тысячелетиях до н.э. в ряде стран: Египте, Вавилоне, Китае, Индии. В то время математические правила формулировались на основе практики. Но постепенно наряду с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались первые математические доказательства. В конечном итоге это привело к качественному скачку: сложилась "чистая" математика с ее дедуктивным методом. Конечно, этот "скачок" был достаточно длительным.
  Развитие математики шло как под влиянием различных наук и техники, так и по "внутренним" факторам. Роль каждого из этих факторов различна в каждом конкретном случае. В конечном счете, решающим является влияние других наук и - главным образом через них - практики. Если последовательность развития определяется объективной логикой предмета математики, то скорость его определяется общественными условиями.
  Первый этап развития "чистой" математики после ее оформления в 7-5 веках до н.э. - это эпоха элементарной математики. Она продолжается до 17 века и делится, в свою очередь, на два существенно различных периода. Первый (период греческой математики) характеризируется глубоким развитием и господством геометрии, которую греке подвели вплотную к аналитической геометрии и интегральному исчислению; второй период характеризируется преимущественно развитием элементарной алгебры и формированием общего понятия (вещественного) числа (Индия, Средняя Азия, страны арабского Востока, Западной Европы) и завершается, когда Декарт ввел современную алгебраическую символику, так что алгебра обрела форму, наиболее адекватную ее содержанию.
  Следующий этап в развитии математики охватывает период с начала 17 века и до середины 19 века. Его обычно определяют как эпоху переменных величин. Переворот, знаменовавший новую эпоху, состоял прежде всего в том, что в предмет математики были включены зависимости между переменными величинами вообще, появилось соответственно общее понятие функции и возник аппарат исследования функций (дифференциальное и интегральное исчисления, ряды), т.е. возникла теория функций - анализ бесконечно малых. Создание анализа подготовлялось с начала 17 века в работах ряда ученых и было оформлено Ньютоном и Лейбницем. После Ньютона и Лейбница получил чрезвычайно интенсивное развитие математический анализ. Его идеи и методы проникли в более старые области математики (геометрию, алгебру, теорию чисел), возникли новые его приложения и ответвления (теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия).
  Следующий этап в развитии математики делится с первой половины 19 века и до середины 20 века и характеризируется тем, что в предмет математики включаются формы и отношения, не являющиеся уже пространственными и количественными в первоначальном смысле слова, причем некоторые из этих форм и отношений определяются внутри самой математики. Появляется неэвклидова геометрия (Лобачевский, 1826; Бодай, 1832), формируется понятие многомерного пространства, выделяются теории отдельных свойств фигур (проективная геометрия, топология и др.). На место одной эвклидовой геометрии появляется бесконечное множество разных "геометрий", например, риманова геометрия (Б.Риман, 1854).
  Середина 20 века является началом нового этапа в развитии математики, который опять-таки характеризируется существенным расширением ее предмета и развитием принципиально новых идей. Приобретают особую роль разделы, посвященные исследованию самих способов и возможностей математического вывода (математическая логика, теория алгоритмов). Возникли новые дисциплины: теория информации, теория автоматов, теория игр (помимо игр в собственном смысле, эта теория рассматривает вопросы военной тактики, производственные и экономические задачи, вопросы выбора системы экспериментов и др.)
  Математизация научного и технического знания: философский аспект
  Еще классики марксизма придавали огромное значение математическим методам познания и исследования как природных, так и общественных явлений. "Для диалектического, и вместе с тем математического понимания природы, - писал Ф.Энгельс, - необходимо знакомство с математикой и естествознанием. Маркс был основательным знатоком математики..." (Анти-ДЮРИНГ, Госполитиздат, 1948, с. 10). Действительно, К.Маркс специально изучал математику и оставил нам много ценных мыслей по этому вопросу в своих "Математических рукописях". В частности он утверждал, что наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. В.И.Ленин в книге "Материализм и эмпириокритицизм" писал как о крупном достижении естествознания и всей науки о приближении к "таким однородным и простым элементам материи, законы движения которых допускают математическую обработку" (ППС, Т. 18, с. 326).
  Известный современный английский астрофизик и популяризатор науки П.Девис в одной из своих книг отмечал, что величайшим научным открытием всех времен было осознание того, что законы природы можно записать с помощью математических формул. Математическое кодирование явлений природы позволяет понимать, управлять и предсказывать ход физических процессов. В истории науки первым осознал это выдающийся древнегреческий философ и математик Пифагор. Он обнаружил, что высота музыкального тона струны связана числовой зависимостью с ее длиной. Более того, он считал, что простые числа и геометрические фигуры, заключающие в себе соразмерности, или гармонии, являются началом мира. Эти идеи через Платона, Коперника и Дж. Бруно подхватил и развил один из основателей классической механики Г.Г алилей. Г алилей подчеркивал: тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу.
  В своем сочинении "Приборных дел мастер" Галилей отмечал: "Философия написана в величественной книге (я имею ввиду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее - треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту". Развивая философскую мысль Галилея И.Кант в "Метафизических началах естествознания" выразился более определенно: "В любом частном учении о природе можно найти науку в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики..." Характер построений, обязательность выводов создали математике славу образца научного знания. Принципиальная применимость математических методов во всех областях научного познания действительности имеет свое объективное основание в единстве количественной и качественной определенности вещей, процессов реального мира. Нужны, по Марксу, не только описательные (качественные) методы наук, но и их количественный анализ.
  Развитый математический аппарат придает научному знанию все более абстрактный характер и вместе с тем позволяет описывать новые, более сложные связи и отношения, глубинные процессы и взаимодействия.
  Успехи математических методов объясняются тем, что с их помощью можно описывать не только количественные изменения данного явления, но и структуру объектов, внутреннюю связь частей данной структуры и таким путем выявлять качественные особенности явлений реального мира, механизм действия законов и т.д. То есть путь познания - от качественных изменений к количественным, затем вновь к качественным характеристикам.
  Математические методы исследования всегда помогали наукам, на какие бы уровни материи они ни проникали. В математических уравнениях, формулах отражаются общие соотношения объектов различных областей (физических, химических, биологических, социальных), потому что в природе существует материальное единство.
  Прямые же связи математики с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математических теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов уравнений с частными производными впервые начинается с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений развиваются на почве электротехники и т.д. Появилась потребность навести логический порядок во "взрыве" информации. Техника сама приходит теперь на помощь математике (проблема кибернетизации, разработка новых поколений ЭВМ, информационных систем, Интернет и др.).
  Роль математизации в современной науке и технике трудно переоценить. Достаточно сказать, что новая теоретическая интерпретация какого-либо явления считается полноценной, если удается создать математический аппарат, отражающий основные закономерности этого явления. Австрийский физик Э.Шрёдингер, поверив! в волновую гипотезу движения элементарных частиц, сумел найти соответствующее уравнение, которое формально ничем не отличается от хорошо известного классической физике уравнения колебаний нагруженной струны. Но членам этого уравнения была дана совершенно иная интерпретация (квантово - механическая). В итоге Шрёдингер сумел получить волновой вариант квантовой механики, в котором знаменитое уравнение заняло центральное место.
  В общем случае можно сказать, что математизация научного познания представляет собой применение математических понятий, теорий и методов в естественных, технических и общественных науках, основанное на количественном анализе изучаемых ими качественных зависимостей и структур. В этих целях абстрагируются от конкретной природы исследуемых отношений и зависимостей и выделяют лишь их математическую форму, или структуру. Но чтобы применить эти структуры для изучения реальных процессов, их необходимо соответствующим образом интерпретировать, т.е. придать определенный смысл абстрактным математическим понятиям и утверждениям.
  Математизация научного познания достигла небывалого размаха с развертыванием современного научно-технического прогресса.

 
© www.textb.net